Schrägbohrungen und Schrägflächen: Winkel eindeutig bemaßen
Aus zwei Projektionswinkeln wird ein Raumwinkel: Formel, Rechenweg und vier durchgerechnete Beispiele.
Projektionswinkel und Raumwinkel
Die Neigung einer Schrägbohrung lässt sich auf zwei Arten angeben: als zwei Projektionswinkel, wie man sie in zwei Ansichten misst, oder als ein Raumwinkel, die wahre Neigung gegen die Bezugsnormale. Beides beschreibt dieselbe Bohrung, rechnet sich aber nicht durch Addieren ineinander um.
Die Bezugsnormale n steht senkrecht auf der Bezugsfläche A. In der Bezugsfläche liegen die Richtungen u und v, etwa entlang der Bezugselemente B und C. Der Projektionswinkel α ist die Neigung der Bohrachse gegen n in der Ebene aus n und u, der Projektionswinkel β gilt entsprechend in der Ebene aus n und v. Die wahre Neigung θ gegen n und die Drehlage φ in der Bezugsfläche folgen daraus:
tan θ = √( tan² α + tan² β )
φ = atan2( tan β , tan α )
φ wird in der Bezugsfläche von u nach v gemessen. Die Formeln sind reine Vektorgeometrie: Die Bohrachse hat die Richtung (tan α, tan β, 1) in den Richtungen u, v und n, und θ ist ihr Winkel gegen n. Umgekehrt ergeben θ und φ die Projektionswinkel zurück: tan α = tan θ · cos φ und tan β = tan θ · sin φ.
Beispiel: α = β = 45°
Zwei Projektionswinkel von je 45° ergeben keine Neigung von 45° und auch keine von 90°. Der Rechenweg in vier Schritten:
- Tangens bilden: tan 45° = 1,0000, also tan α = tan β = 1,0000.
- Quadrate addieren: 1,0000² + 1,0000² = 2,0000.
- Wurzel ziehen: tan θ = √2 = 1,4142.
- Winkel bestimmen: θ = arctan 1,4142 = 54,7356°; φ = atan2(1, 1) = 45,0000°.
Die Bohrung ist also um 54,7356° gegen die Bezugsnormale geneigt, und zwar in der Diagonalen zwischen u und v. Schriebe die Zeichnung nur „45° und 45°“, könnte ein Leser 45° oder 90° herauslesen. Der Raumwinkel vermeidet diese Mehrdeutigkeit.
| α | β | tan θ | θ | φ |
|---|---|---|---|---|
| 45° | 45° | 1,4142 | 54,7356° | 45,0000° |
| 30° | 0° | 0,5774 | 30,0000° | 0,0000° |
| 20° | 10° | 0,4044 | 22,0200° | 25,8481° |
| 15° | 15° | 0,3789 | 20,7536° | 45,0000° |
Ist einer der beiden Projektionswinkel null, fallen θ und der andere Winkel zusammen (zweite Zeile). Nur dann darf man Projektionswinkel mit dem Raumwinkel gleichsetzen.
Vom Raumwinkel zurück zu den Projektionswinkeln
Die Rechnung läuft auch rückwärts. Das ist nützlich, wenn die Zeichnung einen Raumwinkel nennt und ein Leser die beiden Ansichtswinkel braucht.
Gegeben seien θ = 20,7536° und φ = 45,0000°, die Werte der letzten Tabellenzeile. Zuerst wird der Tangens gebildet: tan θ = 0,3789. Dann folgen tan α = tan θ · cos φ = 0,3789 · 0,7071 = 0,2680 und tan β = tan θ · sin φ = 0,2680. Beide Tangenswerte gehören zu 15°. Der Kreis schließt sich: aus 15° und 15° wurden 20,7536° und 45°, und aus ihnen wieder 15° und 15°.
Daraus folgt eine Faustregel für den Alltag: Bei kleinen Winkeln liegen θ und die Projektionswinkel dicht beieinander, bei großen weichen sie deutlich voneinander ab. Wer zwei Winkel von je 45° in die Zeichnung schreibt, sollte deshalb nie darauf vertrauen, dass der Leser den Raumwinkel „im Kopf“ richtig bildet. Die Zeichnung nennt entweder beide Projektionswinkel mit ihren Ebenen oder den Raumwinkel mit seiner Drehlage.
Vier Fehler tauchen beim Bemaßen geneigter Bohrungen immer wieder auf: ein Winkel ohne Bezug, zwei Projektionswinkel, die wie ein Raumwinkel gelesen werden, ein fehlender Drehsinn bei der Drehlage und eine Eintrittsfläche, die nicht benannt ist. Jeder lässt sich mit einem Satz in der Zeichnung vermeiden.
Winkel immer gegen ein benanntes Bezugselement
Ein Winkel ohne Bezug ist keine Angabe. Die Zeichnung muss sagen, wogegen geneigt wird: gegen die Bezugsfläche A, gegen eine Kante oder gegen eine andere Fläche. Bei Schrägbohrungen gehört ein zweiter Punkt dazu, die Eintrittsfläche, an der die Bohrung beginnt, denn von ihr hängt ab, ob der Winkel ab der Oberseite, ab einer Flanke oder ab einer Schrägfläche zu lesen ist.
Die Neigung einer Fläche oder Bohrung lässt sich zusätzlich mit einer Neigungstoleranz nach ISO 1101 begrenzen. Diese Seite nennt dafür keinen Wert; sie hält nur fest, dass die Toleranz sich ebenfalls auf ein benanntes Bezugselement stützt und dass die Zeichnung die Weite der Zone selbst festlegt.
Winkel in der Anfrage
Schreiben Sie je geneigter Fläche oder Bohrung drei Dinge in die Anfrage oder an die Zeichnung: den Winkel mit Bezug, die Eintrittsfläche und, bei Bohrungen, die Tiefe. Haben Sie zwei Projektionswinkel, rechnen Sie den Raumwinkel dazu aus oder nennen Sie beide Winkel mit der Ebene, in der sie gelten.
Ein Beispielsatz für das Nachrichtenfeld: „Schrägbohrung, Eintritt auf Fläche A, Neigung 54,74° gegen A, Drehlage 45° von B nach C, Tiefe wie im Modell.“ Die Rechnung steht dann nicht im Weg: Mit Winkel, Bezug und Eintrittsfläche kann ein Angebot die Lage der Bohrung ohne Rückfrage beurteilen.
Häufige Fragen
Eine Bohrung, deren Achse gegen eine Bezugsfläche geneigt ist; die Neigung wird gegen ein benanntes Bezugselement angegeben.
Verfasst von der Evotec GmbH, Arnsberg · Stand 03.10.2026
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